Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} a & a & b \\ a & b & a \\ b & a & a \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} | - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (b a - a \cdot a) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Étape 2.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Déplacez $a$ .

$a (b a - (a \cdot a)) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Étape 2.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a \cdot a - b a) + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Étape 3.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a \cdot a - b \cdot b)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b \cdot b)$

Étape 4.2.2

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - (b \cdot b))$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a (b a) + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.2.1

Déplacez $a$ .

$a \cdot a b + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$a^{2} b + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} b - a \cdot a^{2} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.4

Multipliez $a$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.4.1

Déplacez $a^{2}$ .

$a^{2} b - (a^{2} a) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $a^{2}$ par $a$ .

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Étape 5.1.4.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$a^{2} b - (a^{2} a^{1}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{2} b - a^{2 + 1} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} b - a^{3} - a \cdot a^{2} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.6

Multipliez $a$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.6.1

Déplacez $a^{2}$ .

$a^{2} b - a^{3} - (a^{2} a) - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.6.2

Multipliez $a^{2}$ par $a$ .

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Étape 5.1.6.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - (a^{2} a^{1}) - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{2} b - a^{3} - a^{2 + 1} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.7

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.7.1

Déplacez $a$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - (a \cdot a) (- b) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.7.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - a^{2} (- b) + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.8.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - 1 \cdot - 1 a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + 1 a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.8.3

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Étape 5.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} + b (- b^{2})$

Étape 5.1.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b \cdot b^{2}$

Étape 5.1.11

Multipliez $b$ par $b^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.11.1

Déplacez $b^{2}$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - (b^{2} b)$

Étape 5.1.11.2

Multipliez $b^{2}$ par $b$ .

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Étape 5.1.11.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - (b^{2} b^{1})$

Étape 5.1.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b^{2 + 1}$

Étape 5.1.11.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Étape 5.2

Additionnez $a^{2} b$ et $a^{2} b$ .

$- a^{3} - a^{3} + 2 a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Étape 5.3

Soustrayez $a^{3}$ de $- a^{3}$ .

$- 2 a^{3} + 2 a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Étape 5.4

Additionnez $2 a^{2} b$ et $b a^{2}$ .

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Étape 5.4.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a^{2}$ .

$- 2 a^{3} + 2 a^{2} b + a^{2} b - b^{3}$

Étape 5.4.2

Additionnez $2 a^{2} b$ et $a^{2} b$ .

$- 2 a^{3} + 3 a^{2} b - b^{3}$